Struttura riemanniana e sub-riemanniana sul gruppo di Heisenberg e analisi dei rispettivi (sub-)laplaciani

Il gruppo di Heisenberg costituisce l'esempio più semplice di varietà dotata di metrica sub-riemanniana. Tale struttura è stata ampiamente studiata per il suo interesse in analisi armonica, analisi complessa, geometria conforme, teoria geometrica della misura. Per altri aspetti, diversi lavori di geometria differenziale trattano un'altra metrica sul gruppo di Heisenberg, questa volta riemanniana, che è strettamente collegata alla precedente. In un certo senso, le due metriche hanno lo stesso andamento asintotico. Questa affinità viene riscontrata anche nell'analisi degli operatori differenziali più significativi in ciascuna struttura: il sub-laplaciano nel primo caso, e l'operatore di Laplace-Beltrami nel secondo. Più complessa è la relazione tra le due strutture quando si passa ad analizzare operatori che agiscono su forme differenziali. Verranno indicati alcuni risultati recenti e problemi aperti di teoria spettrale in questo contesto.