Stati fondamentali radiali per l’equazione del p-Laplaciano con pesi

Presentiamo alcuni risultati dati in [PGMS], come proprietà qualitative e teoremi di unicità per stati fondamentali a simmetria radiale, positivi o a supporto compatto in Rn, che sono soluzioni di equazioni ellittiche quasilineari, possibilmente singolari o degeneri, con pesi. Le ipotesi sui pesi consentono di includere interessanti ed attuali modelli ben noti e ampiamente studiati in letteratura, quali quelli soggetti a equazioni ellittiche variazionali del tipo di Matukuma e di Batt–Faltenbacher–Horst nella dinamica stellare. È notevole che anche se per l’equazione Du + f(u) = 0, e per varie equazioni ad essa collegate, la questione dell’unicità è stata ampiamente studiata, tranne che in pochissimi casi (cf. [PS]), ben poco è noto nel caso di equazioni dipendenti dalla variabile spaziale. In questo studio affrontiamo per la prima volta la questione dell’unicità di soluzioni per tali equazioni. Poiché il problema è già abbastanza difficile, ci è sembrato ragionevole considerare, in questo primo lavoro, solo soluzioni radiali ed equazioni per il p–Laplaciano, p > 1. Un’altra questione delicata affrontata in [PGMS] riguarda il fatto che la funzione f può essere indefinita in u = 0. Questo caso era stato precedentemente studiato solo in [PS], ma senza prestare troppa attenzione alle difficoltà insorgenti anche dalle possibili singolarità di f in u = 0. In [PGMS] formuliamo inoltre una precisa definizione di soluzione per tali problemi, che consente di trattare in modo formalmente elegante l’intera teoria. Verranno presentati anche teoremi di esistenza dati recentemente in [CFP], utilizzando condizioni di sottocriticità per f introdotte in [AP] e [MP] per equazioni ellittiche quasilineari senza pesi. Bibliografia [AP] B. Acciaio e P. Pucci, Existence of radial solutions for quasilinear elliptic equations with singular nonlinearities, Adv. Nonlinear Stud., 3 (2003), 511-539. [CFP] E. Calzolari, R. Filippucci e P. Pucci, Existence of radial ground states for p–Laplacian elliptic equations with weights, in preparazione. [MP] E. Montefusco e P. Pucci, Existence of radial ground states for quasilinear elliptic equations, Adv. Differential Equations 6 (2001), 959–986. [PGMS] P. Pucci, M. García-Huidobro, R. Manásevich e J. Serrin, Uniqueness and other properties of radial ground states of singular quasilinear elliptic equations with weights, in corso di stampa in Ann. Mat. Pura Appl., pagine 34. [PS] P. Pucci e J. Serrin, Uniqueness of ground states for quasilinear elliptic operators, Indiana Math. J. 47 (1998), 501–528.