Problemi di minimo con dati singolari

Anche senza scomodare il Teorema di De Giorgi, ´e semplice provare l’esistenza del minimo per funzionali integrali del Calcolo delle Variazioni della semplice forma (0.1) J(v) = Z |rv|2 −: 2 Z fv ( aperto limitato di IRN). Essendo l’ambiente adeguato W1,2 0 ( ) e appartenendo v a L 2N N−:2 ( ), serve che f stia in L 2N N+2 ( ). Il minimo u esiste, ´e unico e verica la forma debole dell’equazione di Eulero- Lagrange (0.2) ( −:
u = f , u = 0 @ Poich´e il precedente problema al contorno ammette soluzioni distribuzionali anche se il dato f appartiene anche solo L1( ): (0.3) u 2 W1,q 0 ( ), q < N N −: 1 : Z rur = Z f, 8 2 D( ) potrebbe sorgere la domanda (a me ´e sorta!): il problema (0.3) ´e legato a un qualche problema di minimo, anche se f 2 L1( ) comporta che l’estremo inferiore di J in (0.1) ´e meno infinito? Funzionali convessi pi´u generali del tipo C(v) = Z j(x,rv) −: Z fv Funzionali non convessi del tipo I(v) = Z j(x, |v|,rv) −. Z fv 2 LUCIO BOCCARDO Funzionali vettoriali (Sistemi): lavori in corso. Altri problemi. Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma 1, Piazza A. Moro 2, 00185 Roma tel: 00 39 06 49913202 E-mail address: boccardo@mat.uniroma1.it