Disuguaglianze di slope per superficie fibrate

Sia X una superficie fibrata su una curva B, e sia g il genere della fibra. Se la fibrazione è relativamente minimale la classica disuguaglianza di slope dice che il rapporto tra l'autointersezione del fascio canonico relativo e il grado dell'immagine diretta di questo stesso fascio è limitata inferiormente da 4(g-1)/g. Questa disuguaglianza è ottimale, ma è naturale ritenere che ponendo limitazioni sul tipo di fibrazione che si considera si possano ottenere disuguaglianze migliori. Dopo aver accennato una breve dimostrazione della disuguaglianza di slope discuterò il problema in alcuni casi specifici, in particolare in quello delle fibrazioni non albanese, in cui ci sono stati progressi recenti.