UNO SCHEMA SEMI-LAGRANGIANO PER IL MOVIMENTO SECONDO CURVATURA MEDIA

Gli schemi semi-Lagrangiani sono delle interessanti estensioni del metodo di Courant--Isaacson--Rees per le leggi di conservazione che permettono di utilizzare grandi passi in tempo pur mantenendo una buona accuratezza della approssimazione. L'idea di fondo di questi metodi è quella di integrare numericamente l'equazione lungo le caratteristiche a partire da ogni nodo di una griglia spaziale per un passo in tempo $\Delta t$. La soluzione viene allora calcolata accoppiando un metodo numerico per le equazioni differenziali ordinarie (per localizzare il piede della caratteristica) con una formula di interpolazione (per calcolare il valore nel piede della caratteristica che, in generale, non coinciderà con un nodo della griglia). Anche se questi metodi sono generalmente usati per i problemi del primo ordine, possono anche essere utilizzati nello studio di problemi del secondo ordine attraverso una interpretazione probabilistica basata sulla formula di Feynman-Kac. In questa interpretazione le caratteristiche sono traiettorie di processi di diffusione degeneri.
Il seminario presenterà le principali proprietà di questi metodi nella approssimazione del movimento secondo curvatura media mostrando come l'approssimazione semi-Lagrangiana sia consistente, monotona e produca soluzioni accurate anche per grandi passi in tempo. Verranno presentati test in $R^2$ ed in $R^3$.