Varietà di anelli *-regolari e/o ortoreticoli modulari associati alle logiche quantistiche di von Neumann.
Introduzione.
Tralasciando pochissimi casi notoriamente patologici, von Neumann
stabilì una equivalenza tra tre tipi di strutture matematiche usabili
per descrivere quei sistemi fisici puramente quantistici in cui il
calcolo algebrico tra osservabili (illimitati e non commutanti fra loro)
è sempre possibile: (1) fattori finiti F; (2) geometrie continue con
probabilità di transizione (astrattamente assimatizzate o costruite
come ortoreticoli L delle proiezioni di un F); (3) l anello *-regolare
R degli operatori (lineari chiusi e densamente definiti, ma
possibilmente illimitati) affiliati ad F.
(3) fornisce il calcolo algebrico su tutti gli osservabili del sistema
fisico, (1) solo per quelli a spettro limitato, mentre (2) fornisce il
calcolo proposizionale per tali logiche quantistiche di von Neumann.
I problemi.
(1) i fattori finiti nascono come generalizzazione dei fattori
finito-dimensionali, ma già von Neumann ne diede esempi che non sono
approssimativamente finito dimensionali , e dopo Connes conosciamo e
classifichiamo una infinità continua di tali esempi tra loro non
isomorfi. C è un qualche modo in cui tutti i fattori finiti possono
essere ricondotti ai fattori finito dimensionali (cioè i normali
*-anelli di matrici con coefficienti scalari)?
(2) in un sistema classico, il calcolo proposizionale (algebra di Boole)
è decidibile (mediante tavole di verità). Cosa accade per i sistemi
quantistici?
I risultati.
L anello *-regolare R degli operatori (anche illimitati) affiliati a un
fattore finito F (tra le algebre di von Neumann) è nella varietà
generata dai fattori finito dimensionali. Analogamente generalizzando F
a una C^*-algebra finita e di Rickart. Ne consegue che il calcolo
proposizionale (l insieme delle tautologie) della logica quantistica di
von Neumann è decidibile. Inoltre, i metodi (logico-algebrici) usati
forniscono un nuovo punto di vista per il problema di immersione di
Connes (1976) e il problema di Kaplansky sulla linearità delle
(2-)quasitracce (1952).